شبیه‌سازی کوانتومی چیست و چگونه دنیای علم را متحول خواهد کرد؟ (قسمت اول)

شبیه‌سازی کوانتومی چیست و چگونه دنیای علم را متحول خواهد کرد؟ (قسمت اول)

شبیه سازی کوانتومی، زمینه‌ای بسیار هیجان‌انگیز بوده و نویدبخش پیشرفت‌های زیادی در آینده است. زمینه‌ای که به دلیل ناتوانی بشر در رسیدن به جاه‌طلبانه‌ترین رویایش برای حل مسائل دنیای ریز، یعنی کامپیوتر کوانتومی خلق شد. امروزه شبیه سازی کوانتومی، بسیار وسعت یافته و گروه‌های تحقیقاتی زیادی را به خود مشغول کرده است. در این مقاله‌ی دو قسمتی، تلاش خواهیم کرد تا دید مختصر و مفیدی درباره‌ی شبیه سازی کوانتومی به خواننده منتقل کنیم. بدیهی است با توجه به وسعت موضوعاتی که به شبیه سازی کوانتومی مربوط می‌شوند، امکان بیان تمام جزییات فنی در اینجا وجود ندارد و به همین دلیل، خواننده به مراجع هدایت می‌شود. فهرست محتوای این مقاله‌ی دو قسمتی به شرح زیر است:

  1. مقدمه‌ای بر شبیه سازی کوانتومی
  2. شبیه سازی کوانتومی چیست؟
  3. هدف شبیه سازی کوانتومی
  4. بیان مسئله
  5. تعاریف
  6. تخمین منابع
  7. خطاها
  8. تحقق فیزیکی
  9. کاربردها
  10. جمع‌بندی
  11. منابع و اطلاعات بیشتر
 

۱- مقدمه‌ای بر شبیه سازی کوانتومی

فاینمن در یک سخنرانی در سال 1959 در گردهمایی انجمن فیزیک آمریکا در مورد فرصت‌های جدیدی که مکانیک کوانتومی می‌تواند در جهان ماکروسکوپی برای ما به ارمغان آورد، چنین گفت:

وقتی به جهان خیلی خیلی کوچک می‌رویم، چیزهای بسیار جدیدی رخ داده و فرصت‌های کاملا جدیدی آشکار خواهند شد. اتم‌ها برای پیروی از قوانین مکانیک کوانتومی، در مقیاس کوچک، مانند هیچ در مقیاس بزرگ رفتار می‌کنند. بنابراین در مقیاس ذرات ریز، با قوانین متفاوتی کار می‌کنیم و می‌توانیم انتظار کارهای متفاوتی داشته باشیم.

در واقع، حدود سی و پنج سال پیش و در اوایل دهه‌ی 1980، مشخص شده بود که شبیه‌ سازی مکانیک کوانتومی، یک مسئله‌ی بسیار چالش‌برانگیز است. یکی از دشواری‌های کاملا واضح، مقدار بسیار زیاد حافظه‌ی کامپیوتری لازم برای ذخیره‌ی حالت کوانتومی یک سیستم کوانتومی بزرگ است. این حالت، توسط تعدادی پارامتری توصیف می‌شود که به صورت نمایی با اندازه سیستم که عموما به صورت تعداد ذرات یا درجات آزادی در سیستم، تعریف می‌شوند، رشد می‌کنند. مثلا زنجیر کیوبیتی ساده‌ای از N‌ ذره، ۲N حالت پایه دارد که هر یک با دو عدد ممیزی شناور ۳۲ بیتی در کامپیوترهای کلاسیکی نمایش داده می‌شوند. مشکل دیگر، رشد نمایی تعداد اعمال مورد نیاز برای انجام یک مرحله‌ی زمانی است. اگر حالت داده شده را به صورت یک بردار، تصور کنیم، پس هر مرحله‌‌ی زمان، می‌تواند به صورت یک ماتریس یکانی که روی آن بردار عمل می‌کند، توصیف شود. در نتیجه، شبیه سازی کلاسیکی دقیق مکانیک کوانتومی، به سیستم‌های نسبتا کوچک محدود می‌شود، یعنی دور از حد ترمودینامیکی که اغلب، مورد علاقه‌ی ماست. البته، این بدان معنا نیست که نمی‌توانیم به طور کارآمد،‌ تمام سیستم‌ها را شبیه سازی کنیم. گاهی اوقات، روش‌هایی مانند شبیه سازی مونت کارلو می‌تواند برای تولید نتایج با دقت دلخواه، استفاده شود. اما این روش‌ها به خوبی برای تمام سیستم‌ها کار نمی‌کنند و در برخی موارد ممکن است باعث برخی محدودیت‌ها شوند. بنابراین شبیه سازی سیستم های کوانتومی، حتی برای ابرکامپیوترهای امروزی، همچنان یک کار دشوار است.

یک راه‌حل پیشنهادی برای این مشکل، نوع جدیدی از کامپیوتری است که ریچارد فاینمن پیش‌بینی کرد؛ یعنی کامیپوتر کوانتومی. در واقع، فاینمن تصور کرد یک شبیه ساز کوانتومی، یک ماشین کوانتومی باشد که بتواند هر سیستم کوانتومی در جهان فیزیکی را تقلید کند. طی سه دهه‌ی گذشته معلوم شده، یک کامپیوتر کوانتومی، چیزی بسیار فراتر از شبیه سازی مکانیک کوانتومی را انجام خواهد داد. این ماشین، ظرفیت دربرگرفتن میزان به طور نمایی بزرگی از اطلاعات را بدون استفاده از میزان به طور نمایی بزرگ منابع فیزیکی را دارد که این امر، آن را به ابزار مناسبی برای انجام شبیه سازی کوانتومی بدل می‌کند. بنابراین این ماشین‌ها می‌توانند مشکل انفجار نمایی را حل کنند. متاسفانه کامپیوترهای کوانتومی، هنوز دور از واقعیت هستند و در نتیجه تا زمان تحقق آنها، باید به دنبال روش‌های جایگزین بود.

اگر قانع‌تر باشیم و شبیه‌ ساز را تنها برای تقلید سیستم‌های فیزیکی خاصی که نمی‌توانند با کامپیوترهای کلاسیکی شبیه سازی شوند نیاز داشته باشیم، ممکن است ساخت یک شبیه ساز کوانتومی راحت‌تر باشد؛ هر چند هنوز اهمیت زیادی در توسعه علم و فناوری خواهد داشت. ما اکثر مواقع به نمایش تابع موج کامل بس‌ذره‌ای علاقه‌ای نداریم، بلکه در عوض به ویژگی‌های فیزیکی و معمولا وابسته به کمیت‌های شدتی مانند چگالی‌‌ها علاقمندیم. از طرفی، انتظار می‌رود یک شبیه ساز کوانتومی نسبت به یک کامپیوتر کوانتومی، در مقابل نقص‌‌ها، استوارتر و مستحکم‌تر باشد. بنابراین ممکن است نیازی به تصحیح خطا نباشد.

در شبیه سازی کوانتومی ما به دنبال آن هستیم تا ماشینی بسازیم که مسئله-ویژه (problem-specific) باشد. واضح است که این تعریف، جهانی بودن، یعنی چیزی که از یک کامپیوتر کوانتومی انتظار داریم را برآورده نمی‌کند، اما به طور موثری یک مجموعه‌ی خاص از مسائل کوانتومی را که نتوانسته‌ایم با استفاده از روش‌های کلاسیکی حل کنیم، شبیه سازی می‌کند.

پس می‌توان نتیجه گرفت یک کامپیوتر کوانتومی (مجموعه‌ای از کوبیت‌های خوش‌تعریف قابل راه‌اندازی و اندازه‌گیری) قطعا می‌تواند به عنوان یک شبیه ساز کوانتومی جهانی عمل کند. اینجا واژه‌ی جهانی به این حقیقت اشاره می‌کند که این ماشین می‌تواند مسائل بسیار متنوعی را حل کند. اما یک کامپیوتر کوانتومی (به نحوی که بالا تعریف شد) لزوما برای اجرای شبیه سازی کوانتومی لازم نیست و همانطور که اشاره شد می‌توان از دستگاه‌های کوانتومی ساده‌تری که تحول سایر سیستم‌های کوانتومی را به شیوه‌ای قیاسی تقلید می‌کنند یا همان شبیه سازهای کوانتومی استفاده کرد.

پیشرفت آزمایشگاهی در طول دهه‌های گذشته، خارق‌العاده بوده و ما را قادر ساخته تا تک ذرات میکروسکوپی را ایزوله و حالات کوانتومی آنها را دستکاری، کنترل و آشکارسازی کنیم. به کمک آخرین پیشرفت‌ها در دستکاری منسجم سیستم‌های کوانتومی مانند اتم‌ها در شبکه‌های نوری، یون‌های به دام افتاده، اسپین‌های هسته‌ای، مدارهای ابررسانا یا اسپین‌ها در شبه‌ رساناها، کاربردهای عملی شبیه سازی کوانتومی در سال‌های پیش‌ رو بیشتر خود را نشان خواهد داد.

علی‌رغم چنین پیشرفت‌هایی، کامپیوتر کوانتومی هنوز یک هدف بلندمدت است که به کنترل کامل یک سیستم بس‌ذره‌ای و در نهایت، اجرای پروتکل‌های پیچیده‌ی تصحیح خطا نیاز دارد. با این حال، در عین انتظار برای یک پردازشگر اطلاعات کوانتومی جهانی کاملا بالغ، می‌توانیم دستگاهی نه کاملا در سطح پیچیدگی یک کامپیوتر کوانتومی، ولی بر اساس پیشرفت‌های آزمایشگاهی فعلی بسازیم؛ دستگاهی که می‌تواند برخی وظایفی که دستگاه‌های کلاسیکی نمی‌توانند انجام دهند را انجام دهد.

در سال‌های اخیر، علاقه به شبیه سازی کوانتومی، به سرعت افزایش یافته که این امر، دو دلیل دارد: اول اینکه، کاربردهای بالقوه‌ی زیادی برای شبیه سازی کوانتومی در فیزیک، شیمی و حتی زیست‌شناسی وجود دارد. دوم اینکه فناوری‌های لازم برای کنترل یکپارچه‌ی سیستم های کوانتومی به اندازه‌ی کافی بالغ شده‌اند، به گونه‌ای که دستکاری‌های فیزیکی شبیه سازی کوانتومی کاربردی را امکان‌پذیر کنند.

شبیه سازی کوانتومی، ابزار ارزشمندی فراهم خواهد کرد که محققان زمینه‌های متعدد خواهان افزودن آن به جعبه ‌ابزار روش‌های تحقیقاتی خود خواهند بود؛ مثلا در فیزیک ماده چگال، شبیه سازی کوانتومی، مطالعه‌ی بسیاری از مسائل بسیار متفاوت، مانند انتقال فاز کوانتومی، مغناطیس‌ کوانتومی یا ابررسانایی دمای بالا را ممکن خواهد کرد. حوزه‌های کاربردی بالقوه دیگر، فیزیک انرژی‌های بالا، شیمی کوانتومی، کیهان‌شناسی و فیزیک هسته‌ای هستند.

 

2- شبیه سازی کوانتومی چیست؟

یکی از تعاریف ممکن این است: سیستمی آزمایشگاهی که فیزیک یک هامیلتونی دقیقا تعریف شده را بازتولید می‌کند. برخی مسائل به طور کارآمدی در کامپیوترهای کلاسیکی، قابل حل‌‌اند، اما شبیه ساز کوانتومی می‌تواند همتایی فراهم کند که به کمک آن می‌توانیم به سوالات جذابی که به طور مستقیم در آزمایشگاه، قابل ردیابی نیستند پاسخ دهیم، مانند اثرات همسایگی سیاه چاله‌ها. دسته‌ی دوم شبیه سازها به منظور حل مسائلی که از طریق محاسبات کلاسیکی، قابل حل نیستند، ساخته می‌شوند. مثلا حالات پایه‌ی کوانتومی پیچیده و دینامیک سیستم های حالت جامد می‌تواند برای درک بهتر و امکان طراحی مواد عجیب به کار گرفته شوند.
برای ساخت یک شبیه ساز کوانتومی، چه چیزی لازم است؟ سیستمی از ذرات کوانتومی که ۱) حالت اولیه‌ و دینامیکش به دقت قابل کنترل باشد ۲) بیشتر پارامترهای مرتبط آن، تا حد امکان، قابل کنترل باشند ۳) مشخصه‌های مهم حالت نهایی به شیوه‌ای کارآمد قابل خواندن باشد.

3- هدف شبیه سازی کوانتومی

هدف اصلی شبیه سازهای کوانتومی،‌ حل کردن مسائلی است که برای کامپیوترهای کلاسیکی، ممکن نیست؛ مانند سیستم‌های کوانتومی بس‌ذره‌ای با درجات آزادی زیاد که در واقع دارای درهم تنیدگی بزرگ‌مقیاس هستند. البته هنوز هم مسائل بسیاری وجود دارند که می‌توانیم آن‌ها را با کامپیوترهای کلاسیکی، حل یا شبیه سازی کنیم. روش‌های قدرتمندی مانند مونت کارلو و روش‌های خوشه‌‌ی جفت‌ شده،‌ نظریه‌ی تابعی چگالی، نظریه‌ی میدان متوسط دینامیکی،‌ نظریه‌ی گروه بازبهنجارش ماتریس می‌توانند برای حل محدوده‌ی وسیعی از مسائل به کار گرفته شوند.

یک شبیه ساز کوانتومی، چه کاری انجام خواهد داد؟ این سوال می‌تواند، مهم‌ترین پرسش باشد: هدف نهایی ساخت یک شبیه ساز کوانتومی،‌ پاسخ دادن به یک سوال باز در همین زمینه است. چالش‌های این راه، هم مفهومی و هم فنی هستند. آیا کسی می‌تواند مسائل مربوط و خوش‌تعریفی را که نمی‌توان با تکنیک‌های محاسباتی کلاسیکی، حل کرد را مشخص کند؟ و آیا می‌تواند سیستمی را که فیزیک هامیلتونی موردنظر را با دقتی بالا نشان می‌دهد، مهندسی کند؟ با این اوصاف، حتی با توجه به اینکه یک شبیه ساز کوانتومی ممکن است در برابر بسیاری از اختلالات، محکم و قدرتمند باشد، چگونه می‌توانیم مطمئن شویم که نتیجه‌ی یک شبیه سازی کوانتومی، قابل اعتماد است؟ یک پاسخ ممکن، این است که چند شبیه سازی کوانتومی مبتنی بر سیستم های فیزیکی متفاوت را برای شبیه سازی یک سیستم (هامیلتونی) یکسان، انجام دهیم تا امکان بررسی همزمان اعتبار نتایج وجود داشته باشد. پاسخ دیگر این است که به طور مداوم، شبیه ساز را با مسائل قابل حل، واسنجی کنیم.

ما می‌توانیم مجموعه‌ای از معیارهایی که یک شبیه ساز کوانتومی باید ارضا کند را بیان کنیم. البته که انواع بسیار مختلفی از شبیه سازی‌ها، ممکن است و بنابراین تهیه‌ی یک لیست مختصر و موجز از آنها غیرممکن است. ما بیشتر به مواردی علاقمندیم که دستگاه‌های کلاسیکی را شکست داده و قادر به حل سوالات سیستم‌های بس‌ذره‌ای هستند.

  1. سیستم کوانتومی. یک شبیه ساز کوانتومی باید دارای سیستمی از بوزون‌ها یا/و فرمیون‌ها با یا بدون درجات آزادی داخلی (شبه‌اسپین) باشد. ذرات می‌توانند در یک شبکه ذخیره شده یا حداقل در ناحیه‌ای از فضا محصور شوند. سیستم باید تعداد زیادی درجه‌ی آزادی را دربرگیرد.
  2. مقداردهی ابتدایی. یک شبیه‌ ساز کوانتومی باید بتواند یک حالت کوانتومی معلوم را (به طور تقریبی) آماده‌ کند. به طور ایده‌آل، این حالت، باید یک حالت خالص باشد، اگرچه در برخی موارد ممکن است مطالعه‌ی دینامیک یک حالت مخلوط (مثلا یک حالت گرمایی) جالب باشد.
  3. مهندسی هامیلتونی. باید بتوان مجموعه‌ای از برهمکنش‌ها با میدان‌های خارجی یا بین ذرات مختلف را با مقادیر قابل‌ تنظیم مهندسی کرد. این برهمکنش‌ها می‌توانند محلی باشند (یعنی میان ذرات همسایه عمل کنند) یا محدوده‌ی طولانی‌تری داشته باشند. در میان هامیلتونی‌های قابل دسترس باید چیزی وجود داشته باشد که نتواند به طور کارآمدی با تکنیک‌های کلاسیکی شبیه سازی شود.
  4. آشکارسازی. فرد باید بتواند روی سیستم، اندازه گیری انجام دهد. این اندازه‌گیری می‌تواند ویژه (یعنی درنظر گرفتن چند جایگاه خاص روی شبکه) یا جمعی (بدون نیاز به در نظر گرفتن هیچ جایگاه ویژه) باشد. به طور ایده‌آل، فرد باید بتواند آزمایش‌های تک‌پرتویی را انجام دهد که می‌تواند چندین بار تکرار شود.
  5. تایید. اگرچه طبق تعریف، هیچ راهی برای تایید اینکه آیا نتیجه‌ی شبیه سازی، درست است یا نه، نباید وجود داشته باشد، اما به هر حال باید راهی برای افزایش اطمینان نتیجه وجود داشته باشد. مثلا می‌توان ابتدا شبیه ساز را با مسائلی که راه حل‌های معلوم دارند، آزمود. راه دیگر این است که تحول آن در زمان را به جلو یا عقب برد تا بررسی کرد آیا واقعا به حالت اولیه می‌رسد یا نه. وقتی یک الگوریتم آدیاباتیک اجرا می‌شود، این تکنیک می‌تواند برای تنظیم زمان شبیه سازی، با عقب و جلو کردن پارامترها استفاده شود تا هر بار به هامیلتونی هدف، نزدیک‌تر ‌شود. از سوی دیگر، نتایج شبیه سازی های روش‌ها و سیستم‌های مختلف می‌تواند با هم مقایسه شوند.

۴- مسئله

اجازه دهید به یک مسئله‌ی شبیه سازی کوانتومی عمومی، یعنی یافتن حالت یک سیستم کوانتومی توصیف شده با تابع موج φ در زمان t و محاسبه‌ی مقدار کمیت فیزیکی موردنظر توجه کنیم. با تمرکز بر سادگی هامیلتونی‌های مستقل از زمان (که با H  نمایش داده می‌شوند)، راه‌حل معادله شرودینگر با فی داده می‌شود.  به منظور محاسبه‌‌ی عددی φ، ابتدا لازم است مسئله را گسسته‌سازی کنیم به گونه‌ای که بتواند در حافظه‌ی کامپیوتری رمزگذاری شود. همانطور که پیشتر ذکر شد، میزان حافظه‌ی لازم برای نمایش سیستم‌های کوانتومی به صورت نمایی با اندازه سیستم رشد می‌کند و بنابراین تعداد اعمال لازم برای شبیه سازی تحول زمانی نیز به همین منوال افزایش خواهد یافت. مثلا نمایش N حالت با اسپین 1/2 ذرات، به 2N عدد نیاز دارد و این بدون درنظر گرفتن درجات آزادی حرکتی ذرات است. محاسبه‌ی تحول زمانی این سیستم، به نمایی کردن یک ماتریس 2N x 2N نیاز دارد. اجازه دهید آستانه‌ی استاندارد N=40 را که بارها در مقالات تکرار شده، در نظر بگیریم. بنابراین به ذخیره‌سازی 1012 عدد برای φ نیاز داریم. با فرض یک دقت دلخواه، حدود 4 ترابایت داده برای نمایش حالت اسپین 40 ذره در یک حافظه‌ی کامپیوتری لازم است. با دو برابر کردن تعداد اسپین‌ها حدود ۵ ضربدر 1012 ترابایت داده لازم خواهد بود، یعنی حدودا 10 هزار برابر بیشتر از میزان اطلاعات ذخیره شده توسط بشر در سال 2007.

روش‌های تصادفی کلاسیکی، یعنی الگوریتم‌های مونت کارلو به گونه‌ای توسعه‌ داده‌ شده‌اند که مسئله‌ی دشوار شبیه سازی سیستم های کوانتومی بزرگ را دور بزنند. چنین روش‌های تصادفی عموما وقتی توابع، انتگرال گیری شده، علامت را تغییر نمی‌دهند (و به طور ایده‌آل نسبت به متغیرها به آرامی تغییر می‌کنند) خوب کار می‌کنند. چنین نمونه‌گیرهایی از توابع، در تعداد نسبتا کوچکی از نقاط، تقریب خوبی به انتگرال تابع می‌دهد. برای برخی سیستم‌های کوانتومی، به ویژه سیستم‌های فرمیونی و عقیم، ارزیابی عددی انتگرال‌ها با مسئله‌ی نمونه‌گیری با توابع وزنی غیرمثبت نیمه معین، مواجه می‌شود که مسئله‌ی علامت نامیده می‌شود. این امر منجر به رشد نمایی خطای آماری و بنابراین زمان شبیه سازی با تعداد ذرات می‌شود که مزیت روش‌های مونت کارلو را خنثی می‌کند. سایر روش‌های حل مسائل بس ذره‌ای کوانتومی مانند نظریه تابعی چگالی، نظریه‌های میدان متوسط، نظریه‌های اختلالی چندذره‌ای یا روش‌های مبتنی بر توابع گرین، خوشه‌ی جفت‌شده و غیره، معیارهای اعتبارسنجی مشابهی دارند که کاربردپذیری آنها را برای سیستم‌های خوش رفتار، محدود می‌کند.

ادامه دارد...

كلمات كليدي :
شبیه سازی کوانتومی , کامپیوتر کوانتومی